Soal10th-13th gradeMatematikaSiswamohon bantuannyaSolusi dari Guru QANDAQanda teacher - AdirsaBeritahu apabila masih ada yang tidak dimengerti yah!Masih ada yang tidak dimengerti?Coba bertanya ke Guru QANDA.
Himpunanpenyelesaian persamaan cos 2x - sin x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah . A. π / 2, π
b. Diketahui persamaan . Ingat bahwa, jika , penyelesaian dari persamaan tersebut sebagai berikut. , dengan syarat dan positif , dengan syarat dan keduanya genap atau keduanya ganjil Misal, , , dan , penyelesaian dari sebagai berikut. atau Lalu, cek nilai dan dengan mensubstitusikan pada fungsi dan sebagai berikut. Berdasarkan uraian di atas, negatif syarat tidak terpenuhi, maka bukan penyelesaian Lalu, cek nilai dan dengan mensubstitusikan pada fungsi dan sebagai berikut. Berdasarkan uraian di atas, dan genap syarat terpenuhi, maka merupakan penyelesaian. Dengan demikian, himpunan penyelesaian persamaan adalah .Contohsoal persamaan eksponen. Contoh soal 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 5 x + 1 = 25 3x - 4. Penyelesaian soal / pembahasan. Cara menjawab soal ini sebagai berikut: 5 x + 1 = 25 3x - 4. 5 x + 1 = 5 2 (3x - 4) 5 x + 1 = 5 6x - 8. x + 1 = 6x - 8 atau 6x - x = 1 + 9.
Penyelesaian dari suatu persamaan eksponen dalam peubah x adalah semua nilai x yang memenuhi persamaan eksponen tersebut atau dengan kata lain, nilai-nilai x yang menyebabkan persamaan eksponen tersebut bernilai benar. Berikut bentuk-bentuk persamaan eksponen beserta sifat-sifat yang digunakan dalam menentukan solusinya. A. Bentuk afx = agx Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok basis yang sama pada kedua ruas, yaitu a dan nilainya konstan. Namun pangkatnya berbeda, yaitu fx dan gx. Satu-satunya kondisi agar persamaan tersebut bernilai benar adalah ketika pangkatnya sama, yaitu ketika fx = gx. Sifat A Misalkan a > 0 dan a ≠ 1. Jika afx = agx maka fx = gx Contoh 1 Tentukan penyelesaian dari 22x-7 = 81-x Jawab Langkah pertama, samakan basis pada kedua ruas. 22x-7 = 81-x 22x-7 = 231-x 22x-7 = 23-3x Karena basisnya sama, berdasarkan sifat A diperoleh 2x - 7 = 3 - 3x 5x = 10 x = 2 Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2 B. Bentuk afx = bfx Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang berbeda, yaitu a dan b dan keduanya konstan. Namun, kedua pangkatnya sama, yaitu fx. Untuk a, b ≠ 0, maka a0 = 1 dan b0 = 1. Akibatnya a0 = b0, untuk a, b ≠ 0. Jadi, agar persamaan afx = bfx bernilai benar, haruslah fx = 0. Sifat B Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1. Jika afx = bfx maka fx = 0 Contoh 2 Tentukan penyelesaian dari 32x-2 = 5x-1 Jawab Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut 32x-2 = 5x-1 32x-1 = 5x-1 9x-1 = 5x-1 Berdasarkan sifat B, maka x - 1 = 0 x = 1 Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1 C. Bentuk afx = bgx Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang berbeda, yaitu a dan b yang nilainya konstan. Dan pangkatnya juga berbeda yaitu fx dan gx. Solusi dari bentuk seperti ini dapat kita tentukan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma. Sifat C Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1. Jika afx = bgx maka log afx = log bgx Contoh 3 Tentukan penyelesaian dari \\frac{2}{3}\x = 61-x Jawab Basis pada kedua ruas persamaan diatas berbeda, begitu pula pangkatnya. Berdasarkan sifat C, maka log \\frac{2}{3}\x = log 61-x x log \\frac{2}{3}\ = 1 - x log 6 log an = n log a x log \\frac{2}{3}\ = log 6 - x log 6 x log \\frac{2}{3}\ + x log 6 = log 6 x log \\frac{2}{3}\ + log 6 = log 6 x log 4 = log 6 log a + log b = log ab x = \\mathrm{\frac{log\;6}{log\;4}}\ x = 4log 6 Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4log 6 D. Bentuk fxgx = 1 Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar. Karena 1gx = 1 benar untuk setiap gx, maka fxgx = 1 akan bernilai benar ketika fx = 1. Karena -1gx = 1 benar jika gx genap, maka fxgx = 1 akan bernilai benar ketika fx = -1 dengan syarat gx genap. Karena fx0 = 1 benar jika fx ≠ 0, maka fxgx = 1 akan bernilai benar ketika gx = 0 dengan syarat fx ≠ 0. Sifat D Jika fxgx = 1 maka 1 fx = 1 2 fx = -1, dengan syarat gx genap 3 gx = 0, dengan syarat fx ≠ 0 Contoh 4 Tentukan HP dari 2x + 3x-1 = 1 Jawab Misalkan fx = 2x + 3 dan gx = x - 1 Solusi 1 fx = 1 2x + 3 = 1 2x = -2 x = -1 ✔ Solusi 2 fx = -1, dengan syarat gx genap 2x + 3 = -1 2x = -4 x = -2 ✘Periksa Untuk x = -2 → gx = -2 - 1 = -3 ganjil Karena gx ganjil, maka x = -2 tidak memenuhi. Solusi 3 gx = 0, dengan syarat fx ≠ 0 x - 1 = 0 x = 1 ✔Periksa Untuk x = 1 → fx = 21 + 3 = 5 ≠ 0. Karena fx ≠ 0, maka x = 1 memenuhi. HP = {-1, 1} E. Bentuk fxhx = gxhx Persamaan eksponen diatas memuat bilangan pokok yang berbeda, yaitu fx dan gx, namun kedua pangkatnya sama, yaitu hx. Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar. Karena pangkatnya sama, haruslah bilangan pokoknya juga sama, yaitu fx = gx. Dua buah bilangan yang berlainan tanda, jika dipangkatkan bilangan genap yang sama akan menghasilkan bilangan yang sama. Sebagai ilustrasi, 2hx = -2hx bernilai benar ketika hx genap. Jadi, persamaan fxhx = gxhx akan bernilai benar jika fx = -gx dengan syarat hx genap. Untuk fx dan gx ≠ 0, maka fx0 = 1 dan gx0 = 1. Akibatnya, fx0 = gx0 ketika fx dan gx ≠ 0. Jadi, persamaan fxhx = gxhx akan bernilai benar jika hx = 0 asalkan fx ≠ 0 dan gx ≠ 0. Sifat E Jika fxhx = gxhx maka 1 fx = gx 2 fx = -gx, dengan syarat hx genap 3 hx = 0, dengan syarat fx ≠ 0 dan gx ≠ 0 Contoh 5 Tentukan HP dari 2x + 1x-6 = x + 5x-6 Jawab Misalkan fx = 2x + 1, gx = x + 5 dan hx = x - 6 Solusi 1 fx = gx 2x + 1 = x + 5 x = 4 ✔ Solusi 2 fx = -gx, dengan syarat hx genap 2x + 1 = -x + 5 2x + 1 = -x - 5 3x = -6 x = -2 ✔Periksa Untuk x = -2 → hx = -2 - 6 = -8 genap Karena hx genap, maka x = -2 memenuhi. Solusi 3 hx = 0, dengan syarat fx ≠ 0 dan gx ≠ 0 x - 6 = 0 x = 6 ✔Periksa Untuk x = 6 maka fx = 26 + 1 = 13 ≠ 0 gx = 6 + 5 = 11 ≠ 0 Karena keduanya ≠ 0, maka x = 6 memenuhi. Catatan Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai nol, maka x = 6 tidak memenuhi. ∴ HP = {-2, 4, 6} F. Bentuk fxgx = fxhx Persamaan eksponen diatas memiliki basis yang sama, yaitu fx. Namun kedua pangkatnya berbeda, yaitu gx dan hx. Ada 4 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar. Karena basisnya sama, haruslah pangkatnya juga sama, yaitu gx = hx. Untuk berapapun nilai gx dan hx, maka 1gx = 1 dan 1hx = 1. Akibatnya, 1gx = 1hx untuk berapapun nilai gx dan hx. Jadi, persamaan fxgx = fxhx akan bernilai benar jika fx = 1. Karena -1gx = -1hx benar ketika gx dan hx keduanya genap atau keduanya ganjil, maka persamaan fxgx = fxhx akan bernilai benar jika fx = -1 dengan syarat gx dan hx keduanya genap atau keduanya ganjil. Untuk gx dan hx positif, maka 0gx = 0 dan 0hx = 0. Akibatnya, 0gx = 0hx ketika gx dan hx positif. Jadi, persamaan fxgx = fxhx akan bernilai benar jika fx = 0 dengan syarat gx dan hx kedua positif. Sifat F Jika fxgx = fxhx maka 1 gx = hx 2 fx = 1 3 fx = -1, gx dan hx keduanya genap/ganjil 4 fx = 0, gx dan hx keduanya positif Contoh 6 Tentukan HP dari x - 44x = x - 41+3x Jawab Misalkan fx = x - 4, gx = 4x dan hx = 1 + 3x Solusi 1 gx = hx 4x = 1 + 3x x = 1 ✔ Solusi 2 fx = 1 x - 4 = 1 x = 5 ✔ Solusi 3 fx = -1, gx dan hx keduanya genap/ganjil. x - 4 = -1 x = 3 ✔Periksa Untuk x = 3 maka gx = 43 = 12 genap hx = 1 + 33 = 10 genap Karena keduanya genap, maka x = 3 memenuhi. Catatan Jika seandainya keduanya ganjil, maka x = 3 juga memenuhi. Namun, jika salah satu genap dan yang lain ganjil maka x = 3 tidak memenuhi. Solusi 4 fx = 0, gx dan hx keduanya positif. x - 4 = 0 x = 4 ✔Periksa Untuk x = 4 maka gx = 44 = 16 positif hx = 1 + 34 = 13 positif Karena keduanya positif, maka x = 4 memenuhi. Catatan Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0, maka x = 4 tidak memenuhi. ∴ HP = {1, 3, 4, 5} Coba perhatikan kembali solusi-solusi yang menyangkut syarat pangkat genap pada sifat-sifat diatas. Yang menarik untuk dipertanyakan adalah bagaimana seandainya pangkatnya berbentuk pecahan. Hal ini perlu diulas karena tidak menutup kemungkinan saat memeriksa apakah pangkatnya genap atau ganjil, ternyata yang kita temukan adalah bilangan pecahan, yang sudah jelas bukan merupakan bilangan genap ataupun ganjil. Yang perlu dipahami adalah ketika kita memberikan syarat bahwa pangkatnya harus genap tujuannya adalah ingin memperoleh nilai positif. Kita tahu bahwa -1p bernilai positif ketika p genap. Namun, bagaimana seandainya p bukan bilangan bulat melainkan bilangan pecahan, misalkan \\mathrm{\frac{m}{n}}\ dengan m dan n bilangan bulat. Pertanyaan spesifiknya adalah kapan -1\\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\ bernilai positif ? Berdasarkan sifat eksponen, hubungan pangkat pecahan dengan bentuk akar dapat kita nyatakan sebagai berikut $$-1^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{-1^{m}}$$ Dari bentuk diatas, dapat kita simpulkan bahwa -1\\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\ bernilai positif, jika m genap. -1\\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\ bernilai negatif, jika m dan n ganjil -1\\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\ tidak terdefinisi untuk bilangan real, jika m ganjil dan n genap. Karena -1\\mathrm{^{\frac{{\color{Red} m}}{n}}}\ bernilai positif ketika m genap, maka syarat pangkat genap terpenuhi ketika m genap. Namun, bukan berarti kita mengganggap bahwa m/n adalah bilangan genap. Sebagai contoh, 3x - 2x+1 = 1 Salah satu solusi dari persamaan diatas adalah ketika basisnya -1 dengan syarat pangkatnya genap sifat 3x - 2 = -1 3x = 1 x = \\frac{1}{3}\Periksa Untuk x = \\frac{1}{3}\ → x + 1 = \\frac{1}{3}\ + 1 = \\frac{{\color{Red} 4}}{3}\ Karena 4 bilangan genap, maka x = \\frac{1}{3}\ memenuhi. Selain bentuk-bentuk diatas, terdapat pula persamaan eksponen yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat. Biasanya, persamaan seperti ini memuat 3 suku dengan 1 diantaranya konstan. Untuk solusinya dapat disimak pada contoh berikut! Contoh 7 Tentukan HP dari 22x - 3. 2x+1 + 8 = 0 Jawab 22x - 3. 2x+1 + 8 = 0 2x2 - 3. 2x . 21 + 8= 0 2x2 - 62x + 8 = 0 Misalkan 2x = p, sehingga p2 - 6p + 8 = 0 p - 2p - 4 = 0 p = 2 atau p = 4 Untuk p = 2 2x = 2 2x = 21 x = 1 Untuk p = 4 2x = 4 2x = 22 x = 2 Jadi, HP = {1, 2} Ketika mencari solusi dari persamaan eksponen, langkah pertama yang kita lakukan adalah memperhatikan basis dan pangkat pada kedua ruas persamaan tersebut, apakah sama atau berbeda. Hal ini kita lakukan sebagai acuan dalam memilih sifat mana yang akan digunakan. Seandainya kedua basisnya konstan dan memungkinkan untuk disamakan, maka samakan basisnya terlebuh dahulu. Berikut beberapa contoh latihan soal persamaan eksponen. Latihan 1 Tentukan penyelesaian dari 0,125x+1 = \\sqrt{16^{1-\mathrm{x}}}\ Jawab 0,125x+1 = \\sqrt{16^{1-\mathrm{x}}}\ \\mathrm{\left \frac{1}{8} \right ^{x+1}}\ = \16^{\frac{1-\mathrm{x}}{2}}\ \\mathrm{\left 2^{-3} \right ^{x+1}}\ = \\left 2^{4} \right ^{\frac{1-\mathrm{x}}{2}}\ 2-3x-3 = 22-2x Berdasarkan sifat A diperoleh -3x - 3 = 2 - 2x -x = 5 x = -5 Jadi, penyelesaiannya adalah x = -5 Latihan 2 Jika penyelesaian dari 5t4-1 = 3t4-1 adalah t1 dan t2 dengan t1 > t2, tentukan nilai t2 - t1 ! Jawab Berdasarkan sifat B maka t4 - 1 = 0 t2 - 1t2 + 1 = 0 t + 1t - 1t2 + 1 = 0 t = -1 atau t = 1 Catatan t2 + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian real, dapat diuji dari nilai diskriminannya yang kurang dari nol. Karena t1 > t2 , maka t1 = 1 dan t2 = -1. Akibatnya t2 - t1 = -1 - 1 = -2 Latihan 3 Tentukan HP dari 3x2-1 = 2x+1 Jawab Berdasarkan sifat C, maka log 3x2-1 = log 2x+1 x2 - 1 log 3 = x + 1 log 2 x + 1x - 1 log 3 = x + 1 log 2 Perhatikan bahwa ruas kiri dan kanan mempunyai faktor yang sama, yaitu x + 1. Artinya, ruas kiri akan sama dengan ruas kanan ketika x + 1 = 0. x + 1 = 0 x = -1 Untuk x + 1 ≠ 0, makax + 1x - 1 log 3 = x + 1 log 2 x - 1 log 3 = log 2 x log 3 - log 3 = log 2 x log 3 = log 2 + log 3 x log 3 = log 6 x = \\mathrm{\frac{log\;6}{log\;3}}\ x = 3log 6 HP = {-1, 3log 6} Latihan 4 Tentukan HP dari x2 - x - 13x-9 = 1 Jawab Berdasarkan sifat D, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi. Solusi 1 Basisnya sama dengan 1. x2 - x - 1 = 1 x2 - x - 2 = 0 x + 1x - 2 = 0 x = -1 atau x = 2 Solusi 2 Basisnya sama dengan -1, dengan syarat pangkatnya genap. x2 - x - 1 = -1 x2 - x = 0 xx - 1 = 0 x = 0 atau x = 1 Untuk x = 0 → 3x - 9 bernilai ganjil Untuk x = 1 → 3x - 9 bernilai genap Jadi, yang memenuhi adalah x = 1 Solusi 3 Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat basisnya tidak sama dengan nol. 3x - 9 = 0 3x = 9 x = 3Periksa Untuk x = 3 → x2 - x - 1 ≠ 0 Jadi, x = 3 memenuhi ∴ HP = {-1, 1, 2, 3} Latihan 5 Tentukan HP dari x2 + 3x - 22x+3 = x2 + 2x + 42x+3 Jawab Berdasarkan sifat E, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi. Solusi 1 Basis kiri sama dengan basis kanan. x2 + 3x - 2 = x2 + 2x + 4 3x - 2 = 2x + 4 x = 6 Solusi 2 Basis berlainan tanda, dengan syarat pangkatnya genap. x2 + 3x - 2 = -x2 + 2x + 4 x2 + 3x - 2 = -x2 - 2x - 4 2x2 + 5x + 2 = 0 2x + 1x + 2 = 0 x = -1/2 atau x = -2Periksa Untuk x = -1/2 → 2x + 3 bernilai genap Untuk x = -2 → 2x + 3 bernilai ganjil Jadi, yang memenuhi adalah x = -1/2 Solusi 3 Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat kedua basisnya tidak sama nol. 2x + 3 = 0 x = -3/2Periksa Untuk x = -3/2 maka x2 + 3x - 2 ≠ 0 x2 + 2x + 4 ≠ 0 Karena keduanya ≠ 0, maka x = -3/2 memenuhi. ∴ HP = {-3/2, -1/2, 6} Latihan 6 Tentukan HP dari x2 - 1x-1 = x2 - 1x+1 Jawab Berdasarkan sifat F, persamaan diatas memiliki 4 kemungkinan solusi. Solusi 1 Pangkat kiri sama dengan pangkat kanan. x - 1 = x + 1 Tidak ada nilai x yang memenuhi. Solusi 2 Basisnya sama dengan 1. x2 - 1 = 1 x2 = 2 x = √ 2 atau x = -√ 2 Solusi 3 Basisnya sama dengan -1, dengan syarat kedua pangkatnya genap atau keduanya ganjil. x2 - 1 = -1 x2 = 0 x = 0Periksa Untuk x = 0 maka x - 1 bernilai ganjil x + 1 bernilai ganjil Karena keduanya ganjil, maka x = 0 memenuhi. Solusi 4 Basisnya = 0, dengan syarat kedua pangkatnya ≠ 0. x2 - 1 = 0 x + 1x - 1 = 0 x = -1 atau x = 1Periksa Untuk x = -1 maka x - 1 ≠ 0 dan x + 1 = 0 Jadi, x = -1 tidak memenuhi. Untuk x = 1 maka x - 1 = 0 dan x + 1 ≠ 0 Jadi, x = 1 tidak memenuhi. ∴ HP = {-√2, 0, √2} Latihan 7 Akar-akar persamaan 9x+1 - + 1 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, tentukan x1 - x2 Jawab 9x+1 - + 1 = 0 - + 1 = 0 93x2 - 103x + 1 = 0 Misalkan a = 3x sehingga 9a2 - 10a + 1 = 0 9a - 1a - 1 = 0 a = \\frac{1}{9}\ atau a = 1 Untuk a = \\frac{1}{9}\ 3x = \\frac{1}{9}\ 3x = 3-2 x = -2 Untuk a = 1 3x = 1 3x = 30 x = 0 Karena x1 > x2, maka x1 = 0 dan x2 = -2. Akibatnya x1 - x2 = 0 - -2 = 2 Jadi, nilai x1 - x2 adalah 2. Latihan 8 Akar-akar persamaan 6x2-x = 2x+1 adalah x1 dan x2. Tentukan nilai x1 + x2 Jawab Berdasarkan sifat C log 6x2-x = log 2x+1 x2 - x log 6 = x + 1 log 2 x2 log 6 - x log 6 = x log 2 + log 2 x2 log 6 - x log 6 - x log 2 - log 2 = 0 x2 log 6 - log 6 + log 2x - log 2 = 0 log 6x2 - log 12x - log 2 = 0 Pandang persamaan diatas sebagai persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien a = log 6 b = - log 12 c = - log 2 Berdasarkan rumus kuadrat x1 + x2 = -b/a x1 + x2 = log12 / log 6 x1 + x2 = 6log 12 Jadi, x1 + x2 = 6log 12PersamaanEksponen Persamaan eksponen adalah persamaan dimana eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel. Berikut ini bentuk-bentuk persamaan eksponen, yaitu: - af (x) = 1 maka penyelesaiannya f (x) = 0 - af (x) = ap maka penyelesaiannya f (x) = p - af (x) = ag (x) maka penyelesaiannya f (x) = g (x)
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut! bantuin JawabanTentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut!→ x = 3→ x = -2 atau x = 7→ x = 4→ x = -2 atau x = 4→ x = -7/5→ x = 2 1/6→ x = 4→ x = -2 atau x = 7Penjelasan dengan langkah-langkah..atau..atau....atau..Pelajari lebih lanjut tentangPersamaan Eksponen padaTentukan nilai x yang memenuhi persamaan! → himpunan penyelesaian nilai x dari persamaan eksponensial x+1 pangkat X+6 =1 →
Penyelesaiandari suatu persamaan eksponen dalam peubah x adalah semua nilai x yang memenuhi persamaan eksponen tersebut atau dengan kata lain, nilai-nilai x yang menyebabkan persamaan eksponen tersebut bernilai benar. Berikut bentuk-bentuk persamaan eksponen beserta sifat-sifat yang digunakan dalam menentukan solusinya. A. Bentuk af (x) = ag (x)
tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut
